Этот игрок получил прозвище «Подсвечник»: кому-то он показался похожим на персонажа популярного в Чили в 1960-х годах комикса. Его отец родом с Гаити, отсюда необычные «французские» имя и фамилия, а мать — чилийка. Босежур вписал свое имя в историю чилийского футбола на ЧМ-2010 в ЮАР, когда забил мяч в ворота сборной Гондураса и принес «красным» первую победу в финальных турнирах Чемпионата мира FIFA™ за последние 48 лет.

Его стихия — левая бровка, где он может сыграть крайнего нападающего или хавбека. Левому флангу он остается верен всю свою карьеру, стартовавшую в 2002 году в клубе «Универсидад Католика» и продолжившуюся путешествиями по самым разным странам: Чили, Швейцария, Бразилия, Бельгия, Мексика, Англия.

Постоянную прописку в составе «красных» Босежур получил с 2008 года после того, как сборную возглавил Марсело Бьелса, а до этого Жан принимал участие в квалификационном турнире Олимпиады-2004. Провел один матч в отборочном турнире ЧМ-2006 в Германии.

После ЧМ-2010 Клаудио Борги и Хорхе Сампаоли активно задействовали Босежура во время отборочной кампании ЧМ-2014 в Бразилии. Там он сыграл во всех четырех матчах и отметился голом. Босежур — единственный чилиец, забивавший в двух подряд финальных турнирах Чемпионата мира FIFA.

Затем он стал победителем Кубка Америки 2015 и, уже под началом Хуана Антонио Пицци, Кубка Америки Сентенарио 2016.