Мартин Родригес заметен в середине поля благодаря сочетанию скоростных качеств и богатого технического арсенала.

В 12-летнем возрасте ему не дали шанса в «Универсидад де Чили», сказав, что он слишком хил для футбола. Тут же возник вариант с клубом «Уачипато», где Мартин вырос в хорошего левого полузащитника, хотя использовался тренерами также на месте атакующего полузащитника и даже глубже, а иногда и вовсе отряжался на правый фланг. 

Дебютировал в 16-летнем возрасте в 2011 году, а уже на следующий год стал чемпионом страны. В 2013-м его ждало двойное разочарование: сначала его «отцепили» от молодежки, отправлявшейся на южноамериканский чемпионат среди игроков до 20 лет, а потом он не смог поехать в Турцию на Чемпионат мира FIFA среди игроков этой же возрастной категории из-за травмы. 

После ЧМ-2014 в Бразилии Мартин своей игрой удивил Хорхе Сампаоли и заслужил приглашение на несколько товарищеских матчей. Дебют в составе «красных» состоялся в сентябре 2014 года во встрече с Гаити, однако в сборной Родригесу закрепиться не удалось.

В ноябре 2016 года, впечатлившись выступлениями полузащитника за «Коло-Коло», Хуан Пицци снова вызвал его в сборную для участия в отборочной кампании ЧМ-2018.